Sudut-Sudut Istimewa pada Trigonometri

Melanjutkan dari postingan sebelumnya Pengantar Trigonometri, kali ini kami akan membahas tentang sudut-sudut istimewa. Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri maksudnya adalah sudut-sudut tertentu yang apabila kita cari nilai sin, cos dan tan-nya memiliki nilai yang terlihat simple. Sudut-sudut istimewa tersebut contohnya seperti 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

  Sudut 45°  
Kita mulai dari yang lebih sederhana yaitu sudut 45°. Untuk mendapatkan segitiga yang memiliki sudut 45°, kita dapat membagi sebuah persegi pada salah satu diagonalnya.

Panjang seluruh sisi pada persegi adalah sama, misalkan panjangnya  $x$. Maka $AB = BC = x$ .
Dengan menggunakan rumus pythagoras, kita bisa menentukan panjang sisi AC.

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$AC = \sqrt{x^{2} + x^{2}}$
$AC = \sqrt{2x^{2}}$

Related:Mengapa Jumlah Sudut pada Segitiga Sama dengan 180°?

$AC = x\sqrt{2}$

Sehingga,

$sin 45° = \frac{x}{x\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos 45° = \frac{x}{x\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$tan 45° = \frac{x}{x} = 1$

$sin 45° = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos 45° = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
$tan 45° = 1$

Related:Sudut-Sudut Istimewa pada Trigonometri

  Sudut 60°  
Sudut 60° dapat kita peroleh dengan menarik garis tinggi pada segitiga sama sisi disalah satu sudutnya.

Karena jumlah sudut pada segitiga adalah 180° dan segitiga memiliki tiga sudut maka $\frac{180}{3}=60$ . Jadi $\angle A = \angle B = \angle C = 60°$ . Kemudian segitiga dibagi dua menjadi seperti $\Delta ACD$ , diawal kita misalkan panjang semua sisi sama yaitu $x$ , maka pada $\Delta ACD$ panjang $AD = \frac{1}{2}x$ , panjang $AC$ tetap $x$ sedangkan $CD$ dapat dihitung dengan rumus phytagoras.

$CD^{2} = AC^{2} - AD^{2}$
$CD = \sqrt{x^{2}-\left (\frac{1}{2}x  \right )^{2}}$
$CD = \sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}x^{2}}$
$CD = \sqrt{\frac{3}{4}x^{2}}$
$CD = \frac{x}{2}\sqrt{3}$

Sehingga,

Related:Pengantar Trigonometri

$sin 60° = \frac{\frac{x}{2}\sqrt{3}}{x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$cos 60° = \frac{\frac{1}{2}x}{x}=\frac{1}{2}$

$tan 60° = \frac{\frac{x}{2}\sqrt{3}}{\frac{x}{2}}=\sqrt{3}$

$sin 60° = \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$cos 60° = \frac{1}{2}$
$tan 60° = \sqrt{3}$

  Sudut 30°  

Dari pembahasan sudut 60° sebelumya, kita juga akan mendapatkan sudut 30°

$sin 30° = \frac{\frac{1}{2}x}{x}=\frac{1}{2}$

$cos 30° = \frac{\frac{x}{2}\sqrt{3}}{x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ 

$tan 30° = \frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

$sin 30° =\frac{1}{2}$
$cos 30° =\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$tan 30° =\frac{1}{3}\sqrt{3}$

  Sudut 0°  
Untuk mendapatkan sudut 0°, kita gambarkan sebuah segitiga di dalam seperempat lingkaran dengan sisi miring segitiga sama dengan jari-jari seperempat lingkaran. Kemudian kita kecilkan segitiga tersebut dengan tetap menjaga agar sisi miring segitiga sama dengan jari-jari lingkaran hingga titik C hampir meyentuh B. Sehingga bisa kita anggap panjang sisi BC mendekati 0 (BC ≈ 0). Hal ini juga mengakibatkan panjang sisi AC mendekati sisi AB (AC ≈ AB) atau mendekati jari-jari lingkaran $\left ( x\approx r \right )$.

$sin 0° = \frac{BC}{AC}=\frac{0}{r} = 0$

Related:Sudut-Sudut Istimewa pada Trigonometri

$cos 0° = \frac{AB}{AC}=\frac{r}{r} = 1$

$tan 0° = \frac{BC}{AB}=\frac{0}{x} = 0$

$sin 0° = 0$
$cos 0° = 1$
$tan 0° = 0$

  Sudut 90°   

Mirip dengan pembahsan pada sudut 0°, hanya saja sisi BC yang akan kita perpanjang (AC ≈ BC) sehingga $\left ( y\approx r \right )$. Hal ini juga berakibat pada panjang sisi AB yang menjadi mendekati 0 (AB ≈ 0).

$sin 90° = \frac{BC}{AC}=\frac{r}{r} = 1$

$cos 90° = \frac{AB}{AC}=\frac{0}{r} = 0$

$tan 90° = \frac{BC}{AB}=\frac{r}{0} = +∞$ 

Silahkan baca Bentuk Tentu dan Tak Tentu untuk lebih memahami bentuk $\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\frac{x}{0},\infty - \infty$, dll.

$sin 90° = 1$
$cos 90° = 0$
$tan 90° = +∞$

  Rangkuman   

Tabel sudut-sudut istimewa 0° sampai 90°

Tabel sudut-sudut istimewa 0° sampai 360°

Bisa kalian lihat tabel diatas terdapat csc, sec, cot . Untuk memahami kata-kata tersebut kalian bisa membaca Cosecan, Secan dan Cotangen dan untuk mengetahui cara mendapatkan nilai sin,cos dan tan untuk sudut lebih dari 90° kalian bisa membaca Konversi Sudut Trigonometri.


[Referensi]
● Bengkel Mafia - M401 Trigonometri : Sudut Istimewa
● BelajarKalkulus