
Definisi
Bilangan Berpangkat atau Eksponen adalah suatu cara dalam matematika yang sering kita gunakan untuk mepersingkat perkalian yang berulang pada bilangan yang sama.
Contohnya seperti 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 daripada menulis terlalu panjang, kita bisa menyingkatnya dengan 2^{6}. Sehingga kita bisa dapatkan bentuk umum dari perpangkatan adalah sebagai berikut:
a^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}
dengan a disebut basis dan n disebut pangkat.
Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat atau Eksponen

1. a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}
a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times ... \times a} \right )}} \times \underset{n faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times ... \times a} \right )}}
a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m + n faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times ... \times a} \right )}}
a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}
Contoh
1. Bentuk lain dari a^{5} \cdot a^{3} adalah ...
a^{5} \cdot a^{3} = \left (a\times a \times a \times a\times a \right ) \times \left ( a\times a\times a \right )
a^{5} \cdot a^{3} = a\times a \times a \times a\times a \times a\times a\times a
a^{5} \cdot a^{3} = a^{8}
atau
a^{5} \cdot a^{3} = a^{5+3} = a^{8}
2. Bentuk lain dari 3^{3} \cdot 3^{2} adalah ...
3^{3}\cdot 3^{2} = \left (3\times 3 \times 3 \right ) \times \left ( 3\times 3 \right )
3^{3}\cdot 3^{2} = 3\times 3 \times 3 \times 3 \times 3
3^{3} \cdot 3^{2} = 3^{5}
atau
3^{3} \cdot 3^{2} = 3^{3+2} = 3^{5}
\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{\overset{m faktor}{\overbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}}{\underset{n faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}}
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}
Sifat ini memiliki syarat a\neq 0 karena akan memungkinkan penyebut bernilai 0 dan pembagian dengan 0 akan menyebabkan tak terdefinisi
Contoh
1. Bentuk lain dari \frac{a^{4}}{a^{2}} adalah ...
\frac{a^{4}}{a^{2}} = \frac{a\times a \times a\times a}{a \times a}
\frac{a^{4}}{a^{2}} = a \times a
\frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{2}
atau
\frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{4-2} = a^{2}
2. Bentuk lain dari \frac{5^{3}}{5} adalah ..
\frac{5^{3}}{5} = \frac{5\times 5 \times 5}{5}
\frac{5^{3}}{5} = 5 \times 5
\frac{5^{3}}{5} = 5^{2}
atau
\frac{5^{3}}{5} = 5^{3-1} = 5^{2}
\left (a^{m} \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{a^{m} \times a^{m} \times ... \times a^{m}}}
\left (a^{m} \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}} \times \underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}} \times ... \times \underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}}}}
\left (a^{m} \right )^{n} = a^{mn}
Contoh
1. Bentuk lain dari \left (a^{2} \right )^{3} adalah ...
\left (a^{2} \right )^{3} = a^{2} \times a^{2} \times a^{2}
\left (a^{2} \right )^{3} = \left (a\times a \right )\times \left (a\times a \right )\times\left (a\times a \right )
\left (a^{2} \right )^{3} = a\times a\times a\times a\times a\times a
\left (a^{2} \right )^{3} = a^{6}
atau
\left (a^{2} \right )^{3} = a^{2 \times 3} = a^{6}
2. Bentuk lain dari \left (3^{2} \right )^{2} adalah ...
\left (3^{2} \right )^{2}= 3^{2} \times 3^{2}
\left (3^{2} \right )^{2}= \left (3 \times 3 \right )\times \left (3 \times 3 \right )
\left (3^{2} \right )^{2} = 3 \times 3 \times 3 \times 3
\left (3^{2} \right )^{2} = 3^{4}
atau
\left (3^{2} \right )^{2} = 3^{2\times 2} = 3^{4}
\left (a\cdot b \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{ab \times ab \times ... \times ab}}
\left (a\cdot b \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\left (a \times a \times ... \times a \right )}} \times \underset{n faktor}{\underbrace{\left (b \times b \times ... \times b \right )}}
\left (a\cdot b \right )^{n} = a^{n}\cdot b^{n}
Contoh
1. Bentuk lain dari \left (ab \right )^{3} adalah ...
\left (ab \right )^{3} = ab \times ab \times ab
\left (ab \right )^{3} = \left (a\times a \times a \right ) \times\left ( b \times b \times b \right )
\left (ab \right )^{3} = a^{3}b^{3}
2. Bentuk lain dari \left (pq \right )^{2} adalah ...
\left (pq \right )^{2} = pq \times pq
\left (pq \right )^{2} = \left (p \times p \right ) \times \left (q \times q \right )
\left (pq \right )^{2} = p^{2}q^{2}
\left (\frac{a}{b} \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\left (\frac{a}{b} \right ) \times \left (\frac{a}{b} \right ) \times ... \times \left (\frac{a}{b} \right )}}\left (\frac{a}{b} \right )^{n} = \frac{\overset{n faktor}{\overbrace{a \times a \times ... \times a}}}{\underset{n faktor}{\underbrace{b \times b \times ... \times b}}}
\left (\frac{a}{b} \right )^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}
Sama seperti dengan sifat nomor 2, sifat ini memiliki syarat b\neq 0 karena akan memungkinkan penyebut bernilai 0 dan pembagian dengan 0 akan menyebabkan tak terdefinisi
2. \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} , dengan a\neq 0
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}
Sifat ini memiliki syarat a\neq 0 karena akan memungkinkan penyebut bernilai 0 dan pembagian dengan 0 akan menyebabkan tak terdefinisi
Contoh
1. Bentuk lain dari \frac{a^{4}}{a^{2}} adalah ...
\frac{a^{4}}{a^{2}} = \frac{a\times a \times a\times a}{a \times a}
\frac{a^{4}}{a^{2}} = a \times a
\frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{2}
atau
\frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{4-2} = a^{2}
2. Bentuk lain dari \frac{5^{3}}{5} adalah ..
\frac{5^{3}}{5} = \frac{5\times 5 \times 5}{5}
\frac{5^{3}}{5} = 5 \times 5
\frac{5^{3}}{5} = 5^{2}
atau
\frac{5^{3}}{5} = 5^{3-1} = 5^{2}
3. \left (a^{m} \right )^{n} = a^{mn}
\left (a^{m} \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{a^{m} \times a^{m} \times ... \times a^{m}}}
\left (a^{m} \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}} \times \underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}} \times ... \times \underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}}}}
\left (a^{m} \right )^{n} = a^{mn}
Contoh
1. Bentuk lain dari \left (a^{2} \right )^{3} adalah ...
\left (a^{2} \right )^{3} = a^{2} \times a^{2} \times a^{2}
\left (a^{2} \right )^{3} = \left (a\times a \right )\times \left (a\times a \right )\times\left (a\times a \right )
\left (a^{2} \right )^{3} = a\times a\times a\times a\times a\times a
\left (a^{2} \right )^{3} = a^{6}
atau
\left (a^{2} \right )^{3} = a^{2 \times 3} = a^{6}
2. Bentuk lain dari \left (3^{2} \right )^{2} adalah ...
\left (3^{2} \right )^{2}= 3^{2} \times 3^{2}
\left (3^{2} \right )^{2}= \left (3 \times 3 \right )\times \left (3 \times 3 \right )
\left (3^{2} \right )^{2} = 3 \times 3 \times 3 \times 3
\left (3^{2} \right )^{2} = 3^{4}
atau
\left (3^{2} \right )^{2} = 3^{2\times 2} = 3^{4}
4. \left (a\cdot b \right )^{n} = a^{n}\cdot b^{n}
\left (a\cdot b \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\left (a \times a \times ... \times a \right )}} \times \underset{n faktor}{\underbrace{\left (b \times b \times ... \times b \right )}}
\left (a\cdot b \right )^{n} = a^{n}\cdot b^{n}
Contoh
1. Bentuk lain dari \left (ab \right )^{3} adalah ...
\left (ab \right )^{3} = ab \times ab \times ab
\left (ab \right )^{3} = \left (a\times a \times a \right ) \times\left ( b \times b \times b \right )
\left (ab \right )^{3} = a^{3}b^{3}
2. Bentuk lain dari \left (pq \right )^{2} adalah ...
\left (pq \right )^{2} = pq \times pq
\left (pq \right )^{2} = \left (p \times p \right ) \times \left (q \times q \right )
\left (pq \right )^{2} = p^{2}q^{2}
5. \left (\frac{a}{b} \right )^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} , dengan b \neq 0
\left (\frac{a}{b} \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\left (\frac{a}{b} \right ) \times \left (\frac{a}{b} \right ) \times ... \times \left (\frac{a}{b} \right )}}
\left (\frac{a}{b} \right )^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}
Sama seperti dengan sifat nomor 2, sifat ini memiliki syarat b\neq 0 karena akan memungkinkan penyebut bernilai 0 dan pembagian dengan 0 akan menyebabkan tak terdefinisi
Contoh
1. Bentuk lain dari \left (\frac{p}{q} \right )^{2} adalah ...
\left (\frac{p}{q} \right )^{2} = \left (\frac{p}{q} \right )\times \left (\frac{p}{q} \right )
\left (\frac{p}{q} \right )^{2} = \frac{p\times p}{q\times q}
\left (\frac{p}{q} \right )^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}}
\left (\frac{p}{q} \right )^{2} = \frac{p\times p}{q\times q}
\left (\frac{p}{q} \right )^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}}
6. a^{0}=1
Misalkan a^{m-n} dengan m = n , maka a^{m-m} = a^{0}
Berdasarkan sifat nomor 2 maka
a^{m-m}= \frac{a^{m}}{a^{m}}=\frac{\overset{m faktor}{\overbrace{{a\times a \times ... \times a}}}}{\underset{m faktor}{\underbrace{a\times a \times ... \times a}}} = \frac{1}{1}=1
Jadi
a^{0}=1
Inilah alasan mengapa semua bilangan yang dipangkatkan 0 hasilnya adalah 1
Berdasarkan sifat nomor 2 maka
a^{m-m}= \frac{a^{m}}{a^{m}}=\frac{\overset{m faktor}{\overbrace{{a\times a \times ... \times a}}}}{\underset{m faktor}{\underbrace{a\times a \times ... \times a}}} = \frac{1}{1}=1
Jadi
a^{0}=1
Inilah alasan mengapa semua bilangan yang dipangkatkan 0 hasilnya adalah 1
7. a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}
Misalkan a^{m-n} dengan m = 0 , maka a^{0-n} = a^{-n}
Berdasarkan sifat nomor 2 dan 6 maka
a^{0-n} = \frac{a^{0}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n}}
Jadi
a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}
Contoh
1. Bentuk lain dari a^{-3} adalah ...
a^{-3}=a^{0-3}=\frac{a^{0}}{a^{3}}=\frac{1}{a^{3}}
Berdasarkan sifat nomor 2 dan 6 maka
a^{0-n} = \frac{a^{0}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n}}
Jadi
a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}
Contoh
1. Bentuk lain dari a^{-3} adalah ...
a^{-3}=a^{0-3}=\frac{a^{0}}{a^{3}}=\frac{1}{a^{3}}
Post a Comment
Post a Comment