Definisi dan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat atau Eksponen

Definisi

Bilangan Berpangkat atau Eksponen adalah suatu cara dalam matematika yang sering kita gunakan untuk mepersingkat perkalian yang berulang pada bilangan yang sama.

Contohnya seperti $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $ daripada menulis terlalu panjang, kita bisa menyingkatnya dengan $2^{6}$. Sehingga kita bisa dapatkan bentuk umum dari perpangkatan adalah sebagai berikut:

$a^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}$

dengan a disebut basis dan n disebut pangkat.

Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat atau Eksponen

Berdasarkan definisi yang telah disebutkan sebelumnya, bilangan berpangkat memiliki beberapa sifat

1.  $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$

 Bukti 
$a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times  ... \times a}  \right )}} \times \underset{n faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times ... \times a}  \right )}}$
$a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m + n faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times  ... \times a}  \right )}} $
 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ 

 Contoh        

1. Bentuk lain dari $a^{5} \cdot a^{3}$ adalah ...

    $a^{5} \cdot a^{3} = \left (a\times a \times a \times a\times a  \right ) \times \left ( a\times a\times a \right )$

    $a^{5} \cdot a^{3} = a\times a \times a \times a\times a \times a\times a\times a$

    $a^{5} \cdot a^{3} = a^{8}$ 

    atau 

    $a^{5} \cdot a^{3} = a^{5+3} = a^{8}$  

2. Bentuk lain dari $3^{3} \cdot 3^{2}$ adalah ...

    $3^{3}\cdot 3^{2} = \left (3\times 3 \times 3  \right ) \times \left ( 3\times 3  \right )$

    $3^{3}\cdot 3^{2} = 3\times 3 \times 3 \times 3 \times 3 $

    $3^{3} \cdot 3^{2} = 3^{5}$

    atau

    $3^{3} \cdot 3^{2} = 3^{3+2} = 3^{5}$ 

2.  $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} $ , dengan $a\neq 0$

 Bukti 

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{\overset{m faktor}{\overbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}}{\underset{n faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}}$
$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} $
Sifat ini memiliki syarat $a\neq 0$ karena akan memungkinkan penyebut bernilai 0 dan pembagian dengan 0 akan menyebabkan tak terdefinisi
 Contoh 
1. Bentuk lain dari $\frac{a^{4}}{a^{2}}$ adalah ...
    $\frac{a^{4}}{a^{2}} = \frac{a\times a \times a\times a}{a \times a}$
    $\frac{a^{4}}{a^{2}} = a \times a$
    $\frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{2}$
    atau
     $\frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{4-2} = a^{2}$ 
2. Bentuk lain dari $\frac{5^{3}}{5}$ adalah ..
    $\frac{5^{3}}{5} = \frac{5\times 5 \times 5}{5}$
    $\frac{5^{3}}{5} = 5 \times 5$
    $\frac{5^{3}}{5} = 5^{2}$
    atau
     $\frac{5^{3}}{5} = 5^{3-1} = 5^{2}$ 

3.  $\left (a^{m}  \right )^{n} = a^{mn}$

 Bukti 
$\left (a^{m}  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{a^{m} \times a^{m} \times ... \times a^{m}}}$
$\left (a^{m}  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}} \times \underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}} \times ... \times \underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}}}}$
$\left (a^{m}  \right )^{n} = a^{mn}$
 Contoh 
1. Bentuk lain dari $\left (a^{2}  \right )^{3}$ adalah ...
    $\left (a^{2}  \right )^{3} = a^{2} \times a^{2} \times a^{2}$
    $\left (a^{2}  \right )^{3} = \left (a\times a  \right )\times \left (a\times a  \right )\times\left (a\times a  \right )$
    $\left (a^{2}  \right )^{3} = a\times a\times a\times a\times a\times a$
    $\left (a^{2}  \right )^{3} = a^{6}$
    atau
    $\left (a^{2}  \right )^{3} = a^{2 \times 3} = a^{6}$
2. Bentuk lain dari $\left (3^{2}  \right )^{2}$ adalah ...
    $\left (3^{2}  \right )^{2}= 3^{2} \times 3^{2}$
    $\left (3^{2}  \right )^{2}= \left (3 \times 3  \right )\times \left (3 \times 3  \right )$
    $\left (3^{2}  \right )^{2} = 3 \times 3 \times 3 \times 3$
    $\left (3^{2}  \right )^{2} = 3^{4}$
    atau
    $\left (3^{2}  \right )^{2} = 3^{2\times 2} = 3^{4}$

4.  $\left (a\cdot b  \right )^{n} = a^{n}\cdot b^{n}$

 Bukti 

$\left (a\cdot b  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{ab \times ab \times ... \times ab}}$
$\left (a\cdot b  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\left (a \times a \times ... \times a  \right )}} \times \underset{n faktor}{\underbrace{\left (b \times b \times ... \times b  \right )}}$
$\left (a\cdot b  \right )^{n} = a^{n}\cdot b^{n}$
 Contoh 
1. Bentuk lain dari $\left (ab  \right )^{3}$ adalah ...
    $\left (ab  \right )^{3} = ab \times ab \times ab$
    $\left (ab  \right )^{3} = \left (a\times a \times a  \right ) \times\left ( b \times b \times b  \right )$
    $\left (ab  \right )^{3} = a^{3}b^{3} $
2. Bentuk lain dari $\left (pq  \right )^{2}$ adalah ...
    $\left (pq  \right )^{2} = pq \times pq$
    $\left (pq  \right )^{2} = \left (p \times p  \right ) \times \left (q \times q  \right )$
    $\left (pq  \right )^{2} = p^{2}q^{2}$

5.  $\left (\frac{a}{b}  \right )^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ , dengan $b \neq 0$

 Bukti 
$\left (\frac{a}{b}  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\left (\frac{a}{b}  \right ) \times \left (\frac{a}{b}  \right ) \times ... \times \left (\frac{a}{b}  \right )}}$

$\left (\frac{a}{b}  \right )^{n} = \frac{\overset{n faktor}{\overbrace{a \times a \times ... \times a}}}{\underset{n faktor}{\underbrace{b \times b \times ... \times b}}}$
$\left (\frac{a}{b}  \right )^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ 
Sama seperti dengan sifat nomor 2, sifat ini memiliki syarat $b\neq 0$ karena akan memungkinkan penyebut bernilai 0 dan pembagian dengan 0 akan menyebabkan tak terdefinisi

 Contoh 

1. Bentuk lain dari $\left (\frac{p}{q}  \right )^{2} $ adalah ...

$\left (\frac{p}{q}  \right )^{2} $ = $ \left (\frac{p}{q}  \right )\times \left (\frac{p}{q}  \right )$
$\left (\frac{p}{q}  \right )^{2}$ = $\frac{p\times p}{q\times q}$
$\left (\frac{p}{q}  \right )^{2}$ = $ \frac{p^{2}}{q^{2}}$

6.  $a^{0}=1$

 Bukti 

Misalkan $a^{m-n}$ dengan $m = n$ , maka $a^{m-m} = a^{0}$
Berdasarkan sifat nomor 2 maka
$a^{m-m}= \frac{a^{m}}{a^{m}}=\frac{\overset{m faktor}{\overbrace{{a\times a \times ... \times a}}}}{\underset{m faktor}{\underbrace{a\times a \times ... \times a}}} = \frac{1}{1}=1$
Jadi
$a^{0}=1$
Inilah alasan mengapa semua bilangan yang dipangkatkan 0 hasilnya adalah 1

7.  $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$

 Bukti 

Misalkan $a^{m-n}$ dengan $m = 0$ , maka $a^{0-n} = a^{-n}$
Berdasarkan sifat nomor 2 dan 6 maka
$a^{0-n} =  \frac{a^{0}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n}}$
Jadi
$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$
 Contoh 
1. Bentuk lain dari $a^{-3}$ adalah ...
    $a^{-3}=a^{0-3}=\frac{a^{0}}{a^{3}}=\frac{1}{a^{3}}$