Processing math: 100%

Definisi dan Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat atau Eksponen

Definisi

Bilangan Berpangkat atau Eksponen adalah suatu cara dalam matematika yang sering kita gunakan untuk mepersingkat perkalian yang berulang pada bilangan yang sama.
Contohnya seperti 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2  daripada menulis terlalu panjang, kita bisa menyingkatnya dengan 2^{6}. Sehingga kita bisa dapatkan bentuk umum dari perpangkatan adalah sebagai berikut:

a^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}
dengan a disebut basis dan n disebut pangkat.

Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat atau Eksponen

Berdasarkan definisi yang telah disebutkan sebelumnya, bilangan berpangkat memiliki beberapa sifat

1.  a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}
     Bukti 
    a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times  ... \times a}  \right )}} \times \underset{n faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times ... \times a}  \right )}}
    a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m + n faktor}{\underbrace{\left ({a\times a\times  ... \times a}  \right )}} 
     a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} 
     Contoh        
    1. Bentuk lain dari a^{5} \cdot a^{3} adalah ...
        a^{5} \cdot a^{3} = \left (a\times a \times a \times a\times a  \right ) \times \left ( a\times a\times a \right )
        a^{5} \cdot a^{3} = a\times a \times a \times a\times a \times a\times a\times a
        a^{5} \cdot a^{3} = a^{8} 
        atau 
        a^{5} \cdot a^{3} = a^{5+3} = a^{8}  
    2. Bentuk lain dari 3^{3} \cdot 3^{2} adalah ...
        3^{3}\cdot 3^{2} = \left (3\times 3 \times 3  \right ) \times \left ( 3\times 3  \right )
        3^{3}\cdot 3^{2} = 3\times 3 \times 3 \times 3 \times 3 
        3^{3} \cdot 3^{2} = 3^{5}
        atau
        3^{3} \cdot 3^{2} = 3^{3+2} = 3^{5} 

    2.  \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}  , dengan a\neq 0
       Bukti 
      \frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{\overset{m faktor}{\overbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}}{\underset{n faktor}{\underbrace{a\times a\times a\times ... \times a}}}
      \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} 
      Sifat ini memiliki syarat a\neq 0 karena akan memungkinkan penyebut bernilai 0 dan pembagian dengan 0 akan menyebabkan tak terdefinisi
       Contoh 
      1. Bentuk lain dari \frac{a^{4}}{a^{2}} adalah ...
          \frac{a^{4}}{a^{2}} = \frac{a\times a \times a\times a}{a \times a}
          \frac{a^{4}}{a^{2}} = a \times a
          \frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{2}
          atau
           \frac{a^{4}}{a^{2}} = a^{4-2} = a^{2} 
      2. Bentuk lain dari \frac{5^{3}}{5} adalah ..
          \frac{5^{3}}{5} = \frac{5\times 5 \times 5}{5}
          \frac{5^{3}}{5} = 5 \times 5
          \frac{5^{3}}{5} = 5^{2}
          atau
           \frac{5^{3}}{5} = 5^{3-1} = 5^{2} 

      3.  \left (a^{m}  \right )^{n} = a^{mn}
         Bukti 
        \left (a^{m}  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{a^{m} \times a^{m} \times ... \times a^{m}}}
        \left (a^{m}  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}} \times \underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}} \times ... \times \underset{m faktor}{\underbrace{\left ( a\times a \times ... \times a \right )}}}}
        \left (a^{m}  \right )^{n} = a^{mn}
         Contoh 
        1. Bentuk lain dari \left (a^{2}  \right )^{3} adalah ...
            \left (a^{2}  \right )^{3} = a^{2} \times a^{2} \times a^{2}
            \left (a^{2}  \right )^{3} = \left (a\times a  \right )\times \left (a\times a  \right )\times\left (a\times a  \right )
            \left (a^{2}  \right )^{3} = a\times a\times a\times a\times a\times a
            \left (a^{2}  \right )^{3} = a^{6}
            atau
            \left (a^{2}  \right )^{3} = a^{2 \times 3} = a^{6}
        2. Bentuk lain dari \left (3^{2}  \right )^{2} adalah ...
            \left (3^{2}  \right )^{2}= 3^{2} \times 3^{2}
            \left (3^{2}  \right )^{2}= \left (3 \times 3  \right )\times \left (3 \times 3  \right )
            \left (3^{2}  \right )^{2} = 3 \times 3 \times 3 \times 3
            \left (3^{2}  \right )^{2} = 3^{4}
            atau
            \left (3^{2}  \right )^{2} = 3^{2\times 2} = 3^{4}
          4.  \left (a\cdot b  \right )^{n} = a^{n}\cdot b^{n}
             Bukti 
            \left (a\cdot b  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{ab \times ab \times ... \times ab}}
            \left (a\cdot b  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\left (a \times a \times ... \times a  \right )}} \times \underset{n faktor}{\underbrace{\left (b \times b \times ... \times b  \right )}}
            \left (a\cdot b  \right )^{n} = a^{n}\cdot b^{n}
             Contoh 
            1. Bentuk lain dari \left (ab  \right )^{3} adalah ...
                \left (ab  \right )^{3} = ab \times ab \times ab
                \left (ab  \right )^{3} = \left (a\times a \times a  \right ) \times\left ( b \times b \times b  \right )
                \left (ab  \right )^{3} = a^{3}b^{3} 
            2. Bentuk lain dari \left (pq  \right )^{2} adalah ...
                \left (pq  \right )^{2} = pq \times pq
                \left (pq  \right )^{2} = \left (p \times p  \right ) \times \left (q \times q  \right )
                \left (pq  \right )^{2} = p^{2}q^{2}

            5.  \left (\frac{a}{b}  \right )^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} , dengan b \neq 0
               Bukti 
              \left (\frac{a}{b}  \right )^{n} = \underset{n faktor}{\underbrace{\left (\frac{a}{b}  \right ) \times \left (\frac{a}{b}  \right ) \times ... \times \left (\frac{a}{b}  \right )}}
              \left (\frac{a}{b}  \right )^{n} = \frac{\overset{n faktor}{\overbrace{a \times a \times ... \times a}}}{\underset{n faktor}{\underbrace{b \times b \times ... \times b}}}
              \left (\frac{a}{b}  \right )^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} 
              Sama seperti dengan sifat nomor 2, sifat ini memiliki syarat b\neq 0 karena akan memungkinkan penyebut bernilai 0 dan pembagian dengan 0 akan menyebabkan tak terdefinisi
               Contoh 
              1. Bentuk lain dari \left (\frac{p}{q}  \right )^{2}  adalah ...
              \left (\frac{p}{q}  \right )^{2}  \left (\frac{p}{q}  \right )\times \left (\frac{p}{q}  \right )
              \left (\frac{p}{q}  \right )^{2} = \frac{p\times p}{q\times q}
              \left (\frac{p}{q}  \right )^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}}

              6.  a^{0}=1
                 Bukti 
                Misalkan a^{m-n} dengan m = n , maka a^{m-m} = a^{0}
                Berdasarkan sifat nomor 2 maka
                a^{m-m}= \frac{a^{m}}{a^{m}}=\frac{\overset{m faktor}{\overbrace{{a\times a \times ... \times a}}}}{\underset{m faktor}{\underbrace{a\times a \times ... \times a}}} = \frac{1}{1}=1
                Jadi
                a^{0}=1
                Inilah alasan mengapa semua bilangan yang dipangkatkan 0 hasilnya adalah 1

                7.  a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}
                   Bukti 
                  Misalkan a^{m-n} dengan m = 0 , maka a^{0-n} = a^{-n}
                  Berdasarkan sifat nomor 2 dan 6 maka
                  a^{0-n} =  \frac{a^{0}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n}}
                  Jadi
                  a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}
                   Contoh 
                  1. Bentuk lain dari a^{-3} adalah ...
                      a^{-3}=a^{0-3}=\frac{a^{0}}{a^{3}}=\frac{1}{a^{3}}
                  Surya Anoraga J.Y
                  Math and Physics enthusiast
                  Newest Older

                  Related Posts

                  Post a Comment

                  Subscribe Our Newsletter